Дан куб ABCDA’B’C’D’ с основанием ABCD и боковыми ребрами AA’, BB’, CC’, DD’. Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины ребер AB и AA’, и прямой, проходящей через середины ребер BB’ и B’C’, если ребро куба равно 1. 

а) Найдите корень уравнения  

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;3π]

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:3.  Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 3 и диагональю BD = 5. Все боковые рёбра пирамиды равны 3. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 2 .
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC .

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер AB, AC и AS отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объем которой в 8 раз меньше объема пирамиды SABC.

б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если , AB=AC=10, .

Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=20, AC=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру BB₁, причём, BP:PB₁=1:3.

а) Пусть M – середина A₁C₁. Докажите, что прямые MP и AC перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями A₁B₁C₁ и ACP.

Решите неравенство: 2 (8^x + 50^x) > 20^x + 3∙125^x

В четырехугольник ABCD вписана окружность ω с центром в точке O. Известно, что ∠ABC=∠BCD=120°.

а) Докажите, что ∠AOD=120°.

б) Найдите площадь круга, ограниченного окружностью ω, если AB=3, CD=2.