Репетитор по математике
Кунгурова Ксения Анатольевна
Занятия дистанционно (skype) и в очной форме.
Задание 14 Ященко 36Вар. 2021
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания AB равна 4, а боковое ребро AA1 равно 5√3. На ребре DD1 отмечена точка M так, что DM:MD1=3:2. Плоскость α параллельна прямой A1F1 и проходит через точки M и E.
а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α – равнобедренная трапеция;
б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием – сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α.
Решение.
а)
- Точки M и E лежат в одной плоскости – соединим их.
- Так как плоскость α || A1F1 и содержит точку E, проведем через т. E прямую, параллельную A1F1: A1F1||AF||EB.
- Так как плоскость α || A1F1 и содержит точку M, проведем через т. M прямую, параллельную A1F1: A1F1||AF||CD||MK.
- Четырехугольник BEMK – искомое сечение призмы плоскостью α
MK||BE (по построению)
∆BKC = ∆EMD (по двум катетам: BC=ED, CK=DM т.к. MK||CD) → BK=EM.
Значит, BEMK – равнобедренная трапеция.
Ч.т.д.
б) VFBKME=1/3∙SBKME∙hпир.
Тогда:
2) Для нахождения высоты hпир пирамиды FBKME введем систему координат как показано на рисунках и по формуле найдем расстояние от точки F до плоскости BME:
По теореме косинусов из ∆AFB найдем BF: BF=4√3
Найдем координаты точки F и точек плоскости основания: B,E,M.
Составим уравнение плоскости BME:
Сложим 1 и 2 уравнение и получим D=0.
Из второго уравнения: A=B/√3
Из третьего уравнения: С=-4B/3√3
Тогда, уравнение плоскости BME примет вид:
Разделим обе части уравнения на B:
Ответ: 36