Задание 14(С2) ЕГЭ 2017. Координатный метод

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна , а BC  равна 6. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.

а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 9.

 

Решение.

а)

1. Проведем дополнительные построения: из точки S опустим высоты SJ и SK на стороны AB и BC соответственно. Тогда, из формулы площади треугольника следуют равенства:

 

       Пусть SA=SB= c, тогда, по т.Пифагора:

2. 

Значит, BQ=2BP

 

 

б) Введем систему координат:

Пусть даны две плоскости, нормальные векторы которых имеют  координаты:

Тогда угол между плоскостями вычисляется по формуле:

Для нахождения координаты точки S  сначала необходимо вычислить высоту SO (по т.Пифагора):

Теперь определим координаты точек S, A, B, C.

 

Для нахождения координат вектора   составим систему уравнений для плоскости SAB:

 

Для нахождения координат вектора    составим систему уравнений для плоскости SBC:

 

Ответ: