Задание 14 тренировочной работы СтатГрад от 06.03.2018

На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC . Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту
конуса.
а) Точка N —середина отрезка AC . Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2, AC = √6.

а)

1) Медиана AM пересекает высоту конуса, значит, АМ и высота конуса лежат в одной плоскости-ASC, а т.к.N-середина AC, то SN- высота конуса.

2) AS⟘BN по теореме о трех перпендикулярах(SN-перпендикуляр, AS-наклонная, AN-проекция наклонной, AN⟘BN), значит, MN⟘BN (т.к. MN||AS).

Что и требовалось доказать.

б) Способ1(координатный).

По т.Пифагора SN=

Введем трехмерную систему координат, как показано на рисунке:

Найдем координаты точек:

Формула косинуса угла между прямыми в координатах:

 

Значит, 

Способ2(по теореме косинусов)

 Дополнительное построение: MP||SB. Угол между прямыми AM и SB равен углу между AM и прямой, параллельной SB, то есть прямой MP.

Угол AMP найдем по теореме косинусов из треугольника AMP. Для этого найдем все стороны треугольника AMP.

Треугольник ABC –прямоугольный (угол ABC опирается на диаметр окружности) и равнобедренный(по условию), значит, AB=BC=  

Стороны AM и AP найдем по формуле медианы треугольника:

Тогда, по теореме косинусов: AP²=AM²+MP²-2AM·MP·cosϕ

Ответ: