Досрочный ЕГЭ 30.03.2018 Задание 14

На ребре АА₁ правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка K, причем AK:KA₁ = 1:3. Через точки K и B проведена плоскость α, параллельная прямой AC и пересекающая ребро DD₁ в точке М.

а) Докажите, что М – середина ребра DD₁

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если AB=5, АА₁=4 

Решение.

Построение сечения:

1. Определим плоскость, в которой лежат точка К и прямая АС:  плоскость AA₁C_1​

2. В плоскости AA₁C₁ через точку K проведем прямую, параллельную AC:  KN || AC

3. Точки B и N лежат в одной плоскости BB₁C₁ → проведем прямую BN.

4. Параллельные плоскости пересекаются по параллельным прямым, поэтому в плоскости AA₁D₁ проведем прямую KM, параллельную BN.

5. Параллелограмм BKMN - искомое сечение призмы плоскостью α.

а) По условию AK=1/4AA₁. По построению сечения: KA=NC 

Доп.постр.: KE||AD→DE=KA=1/4AA₁.

• KEM=∆BCN(по гипотенузе и катету)→EM=NC=1/4AA₁.
• DM=DE+EM=1/4AA₁+1/4AA₁ =1/2AA₁.Т.к. AA₁=DD₁,то DM=1/2DD_1. Ч.т.д.

б) Способ 1.

.

Так как KE=AD=AB(ABCD-квадрат по условию),

ЕМ=AK(из п.(а))→KB=KM

→BKMN-ромб.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

Тогда:

Способ 2.

Сразу оговорюсь, этот способ не самый рациональный для конкретной данной задачи, но он подходит для решения множества геометрических задач на нахождение площади сечения.

Используем формулу нахождения площади сечения через площадь его ортогональной проекции на плоскость основания:

где α – угол между плоскостью сечения и ее ортогональной проекцией.

Ортогональной проекцией параллелограмма BKMN на плоскость основания является квадрат ABCD:

S_проек=S_ABCD=5²=25

Теперь определим угол между плоскостью BKMN и ее ортогональной проекцией ABCD.

«Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру».

1. Находим прямую пересечения плоскостей сечения и проекции: это прямая m, проходящая через точку B(общую для двух данных плоскостей)и параллельная АС(«если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой»)
2. Из точки B восстанавливаем перпендикуляры в обе плоскости:
3. (т.к. BD⟘AC, как диагонали квадрата, а AC||m)
4. (по теореме о трех перпендикулярах)

Значит, угол MBD-искомый угол между плоскостью сечения и ее ортогональной проекцией на плоскость основания.

Кроме того, косинус угла между плоскостями можно найти координатным методом по формуле:

, где  и   - координаты нормальных векторов двух плоскостей.