Задание 14(С2) ЕГЭ 2017. Координатный метод

Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC₁A₁ является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA₁ и AB₁, если AC = 4, BC = 7.

 

а) Введем трехмерную систему координат:

Пусть АС=а, ВС=b, тогда:

,   

, 

Если скалярное произведение  векторов равно нулю, то такие векторы перпендикулярны.

  прямые  и  перпендикулярны.

б) Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Через прямую CA₁  проведем плоскость CA₁K , параллельную прямой AB_1. (CK || AB_1.)

  

Составим уравнение плоскости :

 ,  ,  

   

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой- это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки первой прямой на плоскость. Т.е. нам нужно найти расстояние от любой точки прямой  до плоскости . Найдем расстояние от точки до плоскости :

Ответ: