Задание 14 ЕГЭ 2018

В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q.

Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды

 

Решение.

 I Построим сечение пирамиды плоскостью MNK:

1) В плоскости ABS соединим точки K и M; в плоскости ABC соединим точки M и N;

2) Так как, по условию, точки M и N – середины ребер AB и BC соответственно, то MN-средняя линия треугольника ABC, следовательно, MN││AC. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN││(SAC)

3) Из (2) следует, что плоскость сечения содержит прямую MN, параллельную плоскости SAC.

 Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскость MNK пересекает плоскость SAC по прямой KP, параллельной AC.

В плоскости SCB соединим точки P и N.

Получили: трапеция KPNM – сечение пирамиды плоскостью MNK.

II 1)Через точки S,C и M проведем плоскость  SCM(и притом только одну);

 через точки S,A и N также проведем плоскость, SAN(и притом только одну).

2) ANꓵCM=O. Получаем: точки S и O принадлежат плоскостям SCM и SAN, значит,  прямая SO – пересечение плоскостей SCM и SAN. 

3) AN и CM – медианы (они же – высоты и биссектрисы) равностороннего треугольника ABC, значит, точка О - основание высоты правильной треугольной пирамиды SABC.

Получили: SO - высота правильной пирамиды SABC. Значит, все точки, принадлежащие плоскостям SCM и SAN, будут лежать на высоте SO.

4) KNꓵMP=Q,

KN лежит в плоскости SAN, следовательно, точка Q лежит в плоскости SAN;

MP лежит в плоскости SCM, следовательно, точка Q лежит в плоскости SCM.

5) Из (4) следует, что точка Q принадлежит плоскостям SAN и SCN, значит, точка Q лежит на высоте SO пирамиды SABC.

Что и требовалось доказать