Задание 14 резерв досрочного ЕГЭ 2019

  Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 5, а его высота равна √51.

Точка М -середина образующей SA конуса, а точки N и В лежат на основании конуса, причем прямая MN

параллельна образующей конуса SB.

а) Докажите, что угол ANO – прямой

б) Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания конуса, если АВ=8

Решение.

а) Начертим конус с образующими SA и SB, отметим точки M и N. M-середина SA;

в плоскости SAB через точку M проведем прямую, параллельную SB, получим точку N; N∈ AB.

Проведем прямые ОА и ОВ:

   ∆АОВ-равнобедренный (ОА, ОВ -радиусы).

 MN||SB; SM=MA, тогда AN=NB (по т.Фалеса). Значит, ON-медиана ∆AOB, а по свойству медианы равнобедренного треугольника, ONꓕAB, то есть угол ANO-прямой.

Ч.т.д.    

 

б) Угол между прямой ВМ и плоскостью основания-это угол между прямой ВМ и ее проекцией на плоскость основания.

Из точки М опустим перпендикуляр МК на плоскость основания. К ∈  ОА. ВК-проекция прямой ВМ на плоскость основания

      

 

Угол МВК – искомый. tg∠MBK=MK/ВК

МК – средняя линия треугольника ASO, тогда МК=1/2SO=√51/2;

BK найдем по теореме косинусов из треугольника АОВ

Из треугольника ONA:

AN=AB/2=4;

OA=5(по условию);

cos∠OAВ=NA/OA=4/5=0,8.

ОК=КА=2,5

По теореме косинусов: ВК²=АК²+АВ²-2АК∙АВ∙  cos∠OAВ

Ответ:30°