Задание 14 тренировочной работы Статград 19.04.2019

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4 .
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC .

Решение.

1) Шаги построения сечения:

1. Точки С и Е лежат в одной плоскости; проведем прямую СЕ. СЕ ꓵ АВ=Т
2. Точки Т и F лежат в одной плоскости. Проведем прямую TF.
3. CE ꓵ AD=M (след плоскости CEF в плоскости основания); проведем прямую MF: MF ꓵ SD=Q.
4. Соединим точки C и Q.

Четырехугольник CTFQ – искомая плоскость CEF.

По признаку параллельности прямой и плоскости, прямая SB параллельна плоскости CEF, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.  Докажем, например, параллельность прямых SB и FT.

Треугольник BET подобен треугольнику DEC (по двум углам, так как BA||DC). Отсюда следует:

CD=5(по условию), тогда BT=4, а AT=1. То есть:

Треугольник AFT подобен треугольнику ASB(по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), так как:

 

Следовательно, углы треугольника AFT равны соответственно углам треугольника ASB, значит, FT||SB, то есть SB||(CEF)

Ч.т.д.

 

2) Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость.

Так как все ребра пирамиды равны, то проекция высоты пирамиды на плоскость основания лежит в центре окружности, описанной около основания, то есть около прямоугольника ABCD. Это точка О-точка пересечения диагоналей прямоугольника. Тогда SO- высота пирамиды.

Рассмотрим треугольник SBD. Через точку Q проведем прямую, параллельную SO: QP||SO→QPꓕ(ABC)

 

 

 Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Плоскость SBD проходит через прямую SB, параллельную плоскости FQC и пересекает ее по прямой QE. Значит, SB||QE. Тогда, из подобия треугольников DEQ и DBS следует:

Так как SO||QP, то треугольник SOD подобен треугольнику QPD, откуда: