Задание 14 ЕГЭ 2018(Ларин)

На продолжениях рёбер А₁А и D₁C₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём AA₁=AK, C₁D₁=C₁L.

а) Докажите, что прямая KL проходит через середину ребра BC.

б) Найдите угол между прямыми AD₁ и KL, если AB=2√2, AD=6, AA₁=8.

Решение.

а)

Заключаем прямые BC и KL в общую плоскость- четырёхугольник KBLC.

Докажем, что KBLC – параллелограмм.

∆KAB=∆LC₁C (по двум катетам):

- C₁L=D₁C₁ (по условию)→ C₁L=AB

- AK=AA₁ (по условию) →AK=CC₁

∠KAB=∠ LC₁C=90°, так как параллелепипед прямоугольный.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: KB=LC.

Кроме того, плоскость KBL пересекает параллельные плоскости ABB₁ и CDD₁ по параллельным прямым, то есть KB||LC.

Получили: KB||LC , KB=LC, значит, четырёхугольник KBLC – параллелограмм.

 Диагонали параллелограмма, KL и BC, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, т.е. BO=OC.

Ч.т.д.

б) Решим задачу координатным методом.

Введём систему координат как показано на рисунке:

 

A(0;0;0)

D₁(0;6;8)

 

K(0;0;-8)

L(-4√2;6;8)