Задание 14. Резерв досрочного ЕГЭ 2019

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 2 и боковое ребро 6. M — середина ребра A₁С₁, O — точка пересечения диагоналей грани ABB₁ A₁.

а) Докажите, что точка пересечения OC₁ с четырехугольником, являющимся сечением призмы плоскостью ABM, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника.

 б) Найдите угол между OС₁ и сечением призмы плоскостью ABM.

а) Доказательство.

Построим сечение призмы плоскостью ABM:

1. Точки А и М лежат в одной плоскости, соединим их;
2. Проведем MD||AB, так как параллельные плоскости пересекаются по параллельным прямым;
3. Точки D и В лежат в одной плоскости, соединим их.

Трапеция AMDB- искомое сечение призмы плоскостью AMB

Докажем, что точка пересечения диагоналей AD и MB трапеции AMDB совпадает с точкой пересечения OC₁ с плоскостью этой трапеции.

Для нахождения точки пересечения OC₁ с плоскостью трапеции AMDB заключим OC₁ в плоскость FF₁C₁C. Получили: плоскость FF₁C₁C пересекает плоскость AMDB по прямой FG. Значит, точка пересечения OC₁ с плоскостью трапеции AMDB лежит на прямой FG.

Чтобы найти точное положения точки Е, найдем отношение GE/EF по теореме Менелая.

Так как M-середина ребра АС1(по условию) и MD||AB (по построению), то MD-средняя линия треугольника А₁В₁С₁, поэтому G-середина F₁C₁:

Далее, , т.к. O — точка пересечения диагоналей грани ABB₁ A₁(треугольник OF₁B₁ равен треугольнику OFA по стороне и двум прилежащим углам, откуда OF₁=OF)

Получили:

 

Теперь рассмотрим трапецию AMDB:

По условию AB=2, тогда MD=1(средняя линия треугольника)

По свойству трапеции, точка пересечения диагоналей трапеции, точка продолжения ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Значит, О₁ принадлежит прямой GF, соединяющей середины оснований трапеции.

Треугольники МО₁D и BO₁A подобны по двум углам, с коэффициентом подобия k=MD/AB=1/2.

Тогда и GO₁/O₁F=1/2 (отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников)

Получили: точки Е и О₁ лежат на прямой GF и GE/EF= GO₁/O₁F=1/2. Значит, точки Е и О₁ совпадают.

Ч.т.д.

б) Введем трехмерную прямоугольную систему координат:

 

Координаты вектора :

Составим уравнение плоскости:

 

Тогда уравнение плоскости будет иметь вид:

или 

Отсюда координаты нормального вектора плоскости:

Ответ: