Атанасян 10 класс номер 173

Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, AB=BC=AC=6, BD=3√7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

1) Двугранный угол DACB образован плоскостями DAC и ACB. Эти плоскости пересекаются по прямой AC. В данных плоскостях проведем перпендикуляры BH и EH к прямой AC.

Получили: угол EHB – линейный угол двугранного угла DACB.

BH – высота равностороннего треугольника ABC, поэтому точка H является серединой стороны AC.

Прямая EH перпендикулярна AC(по построению), поэтому EH параллельна DC. Так как прямая DC перпендикулярна плоскости ABC, то и EH перпендикулярна плоскости ABC, а, значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, т.е. EH перпендикулярна BH.

Значит, угол EBH=90°

 

2) Двугранный угол DABC образован плоскостями DAB и ABC. Эти плоскости пересекаются по прямой AB. В данных плоскостях проведем перпендикуляры DM и CM к прямой AB.

Получили: угол DMC – линейный угол двугранного угла DACB.

CM – высота равностороннего треугольника ABC, поэтому точка M является серединой стороны AB. Высота DM треугольника ADB так же является медианой, так как треугольник ADB- равнобедренный. СМ – высота равностороннего треугольника. Найдем СМ по формуле:

Тогда:

Значит, угол DMC = 45°

 

3) Двугранный угол BDCA образован плоскостями BDC и DCA. Эти плоскости пересекаются по прямой DC. В данных плоскостях уже проведены перпендикуляры к прямой DC: сторона основания, BC, перпендикулярна DC и AC также перпендикулярна DC(так как DC перпендикулярна плоскости ABC по условию).

Получили: угол ACB – линейный угол двугранного угла BDCA.

Угол ABC = 60°, так как треугольник ABC – равносторонний (по условию).

Ответ: 90°, 45°, 60°.