Ященко, ЕГЭ 2020 36 вар. Вариант 1. Задача 14(Аналоги:задачи 14 в вариантах 2,3)

В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Точка М- середина ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, причем AN:NC=15:1. Катет AC в 4 раза больше бокового ребра АА₁ призмы.

а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA₁.

б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A₁B₁C₁, если .

а) Введем систему координат с центром в точке С:

Найдем координаты точек C, А₁, M, N:

С(0;0;0)

А₁(0;4х;х)

Тогда   

Так как AN:NC=15:1, то NC=1/16*4x=x/4

N(0;x/4;0);

M(CB/2;0:x);

Тогда 

Для доказательства перпендикулярности прямых А₁С и MN воспользуемся необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов: для перпендикулярности двух ненулевых векторов необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Найдем скалярное произведение векторов  и :

Значит, прямые А₁С и MN перпендикулярны.

б) Для нахождения угла между прямой и плоскостью также воспользуемся координатным методом:

где x₁, y₁, z₁ - координаты вектора , x₂, y₂, z₂ - координаты нормального вектора плоскости основания A₁B₁C₁ .

Нормальный вектор плоскости A₁B₁C₁  задается координатами: .

 Для нахождения координат вектора  необходимо выразить сторону CB через х.

По условию,  , тогда

По теореме Пифагора: , тогда вектор  задается координатами:

Получаем:

Откуда

Ответ: