Репетитор по математике
Кунгурова Ксения Анатольевна
Занятия дистанционно (skype) и в очной форме.
Задание 14(С2) ЕГЭ 2017. Координатный метод
Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна , а BC равна 6. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 9.
Решение.
а)
- Проведем дополнительные построения: из точки S опустим высоты SJ и SK на стороны AB и BC соответственно. Тогда, из формулы площади треугольника следуют равенства:
Пусть SA=SB= c, тогда, по т.Пифагора:
Значит, BQ=2BP
б) Введем систему координат:
Пусть даны две плоскости, нормальные векторы которых имеют координаты:
Тогда угол между плоскостями вычисляется по формуле:
Для нахождения координаты точки S сначала необходимо вычислить высоту SO (по т.Пифагора):
Теперь определим координаты точек S, A, B, C.
Для нахождения координат вектора составим систему уравнений для плоскости SAB:
Для нахождения координат вектора составим систему уравнений для плоскости SBC:
Ответ: