Ященко, ЕГЭ 2020 36 вар. Вариант 6. Задача 14

Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=20, AC=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру BB₁, причём, BP:PB₁=1:3.

а) Пусть M – середина A₁C₁. Докажите, что прямые MP и AC перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями A₁B₁C₁ и ACP.

 а) Доказательство.

1. Через точку М проведем прямую, параллельную ВВ₁. Прямая МР принадлежит плоскости BB1MH.
2. Точка Н – середина стороны АС (по построению), а так как треугольник АВС – равнобедренный (АВ=ВС), то ВН ꓕ АС; MH|| ВВ₁, значит, MH ꓕ AC. Получили: прямая AC перпендикулярна двум  пересекающимся прямым, лежащим в плоскости BB1MH. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AC перпендикулярна плоскости BB1MH. А,значит, прямая AC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Т.е. ACꓕMP.

б) Так как плоскость A₁B₁C₁ параллельна плоскости ABC, то угол между плоскостями A₁B₁C₁ и ACP будет равен углу между плоскостью ACP и плоскостью ABC.

Из равенства треугольников АВР и СВР следует равенство сторон АР и СР, то есть треугольник равнобедренный, значит, РН ꓕ АС. Тогда, по определению угла между плоскостями, угол РНВ-угол между плоскостями АРС и АВС.

Из равнобедренного треугольника ABC:

Ответ: 0,5