Ященко, ЕГЭ 2020 36 вар. Вариант 10. Задача 14

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер AB, AC и AS отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объем которой в 8 раз меньше объема пирамиды SABC.

б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если SA=2√5,AB=AC=10,BC=4√5 .

а) Доказательство

Точки F, D, E -середины ребер SA, AB, AC соответственно.  

DE – средняя линия треугольника ABC, DE||BC и DE=BC/2, значит, треугольники ADE и ABC подобны с коэффициентом подобия k=1/2 и

Тогда:

Чтд

 

б) Расстояние от точки A до плоскости FDE равно высоте пирамиды FADE (прямая AG на чертеже).

С одной стороны, объем пирамиды FADE равен:

С другой стороны, объем пирамиды FADE равен:

Тогда получаем равенство:

 

Ответ: 2