Репетитор по математике
Кунгурова Ксения Анатольевна
Занятия дистанционно (skype) и в очной форме.
Задание 14 досрочный ЕГЭ профиль
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.
1.
Построение сечения:
- Точки K и N лежат в одной плоскости, соединим их.
- Плоскость α параллельна ВС, значит, она содержит прямую, параллельную ВС. В плоскости АВС через точку N проведем прямую, параллельную ВС.
- В плоскости SBC через точку K проведем прямую, параллельную ВС.
- Соединим полученные точки E и F.
Трапеция FEKN – сечение пирамиды SABCD плоскостью α.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Если в плоскости FEKN будет лежать прямая, параллельная AS, то плоскость FEKN будет параллельна AS.
Тогда, по обратной теореме Фалеса, EF||SA. А, значит, α||SA.
2.
Заметим, что плоскость α параллельна плоскости SAD ( EF||SA, FN||AD). Тогда углом между плоскостью α и плоскостью SBC будет также угол между плоскостью SAD и плоскостью SBC.
Плоскости SAD и SBC имеют общую точку S.
И так как BC||(SAD), то прямая пересечения плоскостей (прямая a на рисунке) так же параллельна (SAD)(« Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой»).
Проведем перпендикуляры к прямой а:
GSꓕa, HSꓕa. Тогда ∠GSH – это угол между плоскостями SBC и SAD.
Из прямоугольного треугольника SGC:
По теореме косинусов:
Откуда: