ДВИ МГУ 2020 Вариант 206 задание 6

Дан куб ABCDA’B’C’D’ с основанием ABCD и боковыми ребрами AA’, BB’, CC’, DD’. Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины ребер AB и AA’, и прямой, проходящей через середины ребер BB’ и B’C’, если ребро куба равно 1. 

Решение. 

Прямые KL и PT – скрещивающиеся. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую. 

1. В плоскости ADF через точку К проведем прямую KM, параллельную PT: 

Получили: плоскость KML содержит прямую KL и параллельна прямой PT. 

Расстояние между прямой PT и параллельной ей плоскостью MKL – это расстояние от любой точки прямой PT до плоскости MKL. 

Найдем расстояние от точки P до плоскости MKL координатным методом. 

Для этого введем систему координат, как показано на рисунке: 

Составим уравнение плоскости KLM: 

В последнее уравнение подставим c = −2d, получим b = 2d.

Уравнение плоскости KLM:  

-2dx+2dy-2dz+d=0. Поделим обе части уравнения на d: 

x+2y-2z+1=0

Формула расстояния от точки до плоскости:  

Расстояние от точки P до плоскости MKL: 

Ответ: