Задание 14 Ященко 36Вар. 2021

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания AB равна 4, а боковое ребро AA₁ равно 5√3. На ребре DD₁ отмечена точка M так, что DM:MD₁=3:2. Плоскость α параллельна прямой A₁F₁ и проходит через точки M и E.

а) Докажите, что сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью α – равнобедренная трапеция;

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием – сечение призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плоскостью α.

Решение.

а)

1. Точки M и E лежат в одной плоскости – соединим их.
2. Так как плоскость α || A₁F₁ и содержит точку E, проведем через т. E прямую, параллельную   A₁F₁: A₁F₁||AF||EB.

1. Так как плоскость α || A₁F₁ и содержит точку M, проведем через т. M прямую, параллельную   A₁F₁: A₁F₁||AF||CD||MK.
2. Четырехугольник BEMK – искомое сечение призмы плоскостью α

 

MK||BE (по построению)

∆BKC = ∆EMD (по двум катетам: BC=ED, CK=DM т.к. MK||CD) → BK=EM.

Значит, BEMK – равнобедренная трапеция.

Ч.т.д.

б) V_FBKME=1/3∙S_BKME∙h_пир.

 

Тогда:

2) Для нахождения высоты h_пир пирамиды FBKME введем систему координат как показано на рисунках и по формуле найдем расстояние от точки F до плоскости BME:

По теореме косинусов из ∆AFB найдем BF:  BF=4√3

Найдем координаты точки F и точек плоскости основания: B,E,M.

Составим уравнение плоскости BME:

Сложим 1 и 2 уравнение и получим D=0.

Из второго уравнения: A=B/√3

Из третьего уравнения: С=-4B/3√3

Тогда, уравнение плоскости BME примет вид:

Разделим обе части уравнения на B:

 

Ответ: 36