Задание 14 тренировочной работы СтатГрад 18.04.2018

Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD, все ребра которой равны 12. Точка N – середина бокового ребра MA, точка K делит боковое ребро MB в отношении 2:1, считая от вершины M.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и K параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение.

а) В плоскости AMB проведем прямую через точки N и K.

В плоскости AMD через точку N проведем прямую, параллельную AD до пересечения со стороной MD в точке F. Получили: плоскость KNF параллельна прямой AD  по признаку параллельности прямой и плоскости.

Прямая BC параллельна AD, значит, ВС параллельна плоскости KNF. Тогда, плоскость BMC пересекает плоскость KNF по прямой KG, параллельной BC (Если плоскость(плоскость BMC) проходит через данную прямую(через ВС), параллельную другой плоскости(ВС|| (KNF)), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой(KG||BC)).

NF||AD →  точка F-середина MD

KG||BC →  точка G делит MC в отношении 2:1

А так как все ребра пирамиды равны, то получаем:

∆NMK=∆FMG (по двум сторонам и углу между ними)→NK=FG

Значит, сечение KNFG – равнобедренная трапеция.

б) Рассмотрим равносторонний треугольник AMB:

Тогда, по теореме косинусов:

NK²=MN²+MK²-2∙MN∙MK∙cos60°

Рассмотрим равнобедренную трапецию KNFG.

Ответ: