Задание 16 ЕГЭ 2018

В четырехугольник ABCD вписана окружность ω с центром в точке O. Известно, что ∠ABC=∠BCD=120°.

а) Докажите, что ∠AOD=120°.

б) Найдите площадь круга, ограниченного окружностью ω, если AB=3, CD=2.

1. ∠A+∠D =360°-(∠B+∠C) =120°.

Центр O вписанной окружности ω лежит на пересечении биссектрис углов A и D, значит,

Чтд.

 

2.    

Так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов, то ∠OBC=∠BCO=60°,

тогда треугольник OBC – равносторонний. Пусть BC=x, тогда OB=OC=BC=x.

Радиус вписанной окружности ω в четырехугольник равен высоте треугольника OBC:

Проведем прямые AB и CD до пересечения в точке E. Окружность ω вписана в треугольник AED.
∠EBC=∠ECB=60°, значит, треугольник BEC – равносторонний со стороной x.

 Тогда:

Приравниваем (1) и (2):

Окончательно получаем:     

Ответ: