Задание 15 ЕГЭ 2018

Решите неравенство: 2 (8^x + 50^x) > 20^x + 3∙125

Решение.

2 (8^x + 50^x ) > 20^x + 3∙125^x;

2 ( 2^3x + 5^2x∙2^x ) > 2^2x∙5^x + 3∙5^3x

Сделаем замену: 2^x = a   (a>0);   5^x = b   (b>0), тогда неравенство примет вид:

2a³ + 2b²a > a²b + 3b³;

Разложим 2a³ = a³ + a³,   3b³ = 2b³ + b³ :

a³ + a³ + 2b²a > a²b + 2b³ + b³;

a³ + a³ + 2b²a - a²b - 2b³ - b³ > 0;

a³ - b³ + a²(a-b) + 2b²(a-b) > 0;

(a-b)( a² + ab + b² ) + a²(a-b) + 2b²(a-b) > 0;

(a-b)( 2a² + ab + 3b² ) > 0;

Так как a > 0, b > 0, то множитель 2a² + ab + 3b² будет положительным при любых х,

тогда неравенство сводится к решению:

a - b > 0;

a > b;

a/b > 1;

Обратная замена:

2^x/5^x > 1;

(2/5)^x > 1  →  x < 0

Ответ: x∈(-∞;0)