Задание 14 досрочный ЕГЭ профиль

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На ребрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причем DN:NC=SK:KC=1:3.  Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

1.

Построение сечения:

1. Точки K и N лежат в одной плоскости, соединим их.

 

2. Плоскость α параллельна ВС, значит, она содержит прямую, параллельную ВС. В плоскости АВС через точку N проведем прямую, параллельную ВС.

 

 

3. В плоскости SBC через точку K проведем прямую, параллельную ВС.

 

4. Соединим полученные точки E и F.

 

 

Трапеция FEKN – сечение пирамиды SABCD плоскостью α.

 

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

 

 Если в плоскости FEKN будет лежать прямая, параллельная AS, то плоскость FEKN будет параллельна AS.

 

 

 

Тогда, по обратной теореме Фалеса, EF||SA. А, значит, α||SA.

 

 

2.

Заметим, что плоскость α параллельна плоскости SAD ( EF||SA, FN||AD). Тогда углом между плоскостью α и плоскостью SBC будет также угол между плоскостью SAD и плоскостью SBC.

 

 Плоскости SAD и SBC имеют общую точку S.

 

И так как BC||(SAD), то прямая пересечения плоскостей (прямая a на рисунке) так же параллельна (SAD)(« Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой»).

 

Проведем перпендикуляры к прямой а:

 

GSꓕa, HSꓕa. Тогда ∠GSH – это угол между плоскостями SBC и SAD.

 

 

Из прямоугольного треугольника SGC:

 

 

 

 

По теореме косинусов:

 

 

Откуда: