Кунгурова Ксения Анатольевна, репетитор
Powered by Profi.ru
Репетитор по математике

Запись на занятия: https://profi.ru/profile/KungurovaKA/

репетитор

Задание 18 тренировочной работы СтатГрад от 06.03.2018

Найдите все значения а, при каждом из которых система


имеет ровно одно решение.

Решение.

Рассмотрим первое неравенство системы:

Имеем произведение двух множителей, причем, каждый из множителей состоит из суммы квадратов:  и , значит, эти множители неотрицательны. Произведение данных множителей отрицательным никогда не будет, оно может быть только равно нулю. Равенство нулю выполняется, если:

Получили две пары решений: (1;4) и (6;4)

  1. Подставим полученные решения во второе неравенство и найдем все a, при которых оно выполняется:

пара (1;4):

 

(1-a)2+(4-2a)2≤4a2;
1-2a+a2+16-16a+4a2≤4a2
a2-18a+17≤0

(a-1)∙(a-17)≤0

 

пара (6;4):

 

          

 

Анализируем решения обоих неравенств:

при a∈(-∞;1)∪(26;+∞) -решений нет

при a∈[1;2)∪(17;26]-одно решение

при a∈[2;17]-два решения

Ответ: a∈[1;2)∪(17;26]