Кунгурова Ксения Анатольевна, репетитор
Powered by Profi.ru
Репетитор по математике

Запись на занятия: https://profi.ru/profile/KungurovaKA/

репетитор

Задание 16 ЕГЭ 2018

В четырехугольник ABCD вписана окружность ω с центром в точке O. Известно, что ∠ABC=∠BCD=120°.

а) Докажите, что ∠AOD=120°.

б) Найдите площадь круга, ограниченного окружностью ω, если AB=3, CD=2.

 

 

  1. ∠A+∠D =360°-(∠B+∠C) =120°.

Центр O вписанной окружности ω лежит на пересечении биссектрис углов A и D, значит,

 

 

Чтд.

 

  1.    

 

Так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов, то ∠OBC=∠BCO=60°,

 

тогда треугольник OBC – равносторонний. Пусть BC=x, тогда OB=OC=BC=x.

 

Радиус вписанной окружности ω в четырехугольник равен высоте треугольника OBC:

 

 

Проведем прямые AB и CD до пересечения в точке E. Окружность ω вписана в треугольник AED.

∠EBC=∠ECB=60°, значит, треугольник BEC – равносторонний со стороной x.

 

 Тогда:

 

 

Приравниваем (1) и (2):

 

 

Окончательно получаем:     

 

Ответ: