Кунгурова Ксения Анатольевна, репетитор
Powered by Profi.ru
Репетитор по математике

Запись на занятия: https://profi.ru/profile/KungurovaKA/

репетитор

Задание 14 тренировочной работы Статград 24.01.2019

В основании правильной четырехугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины ребер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

а) Докажите, что плоскость αпараллельна ребру MD.

б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.

Решение.

Построим правильную четырехугольную пирамиду и отметим  попарно перпендикулярные грани.

Плоскости АМВ и DMC пересекаются по прямой b. Если плоскость(АМВ) проходит через прямую, параллельную другой плоскости(АВ||DMC) и пересекает ее, то линия пересечения плоскостей и данная прямая параллельны: АМВ∩DMC=b, b|| AB||DC

Соответственно, апофема MS, перпендикулярная ребру DC, будет перпендикулярна и прямой b. Аналогично, апофема MR перпендикулярна прямой b.

Тогда угол между  перпендикулярными плоскостями AMB и DMC – это угол между апофемами MR и MS.

Пусть сторона основания равна a.

Треугольник MRS – равнобедренный прямоугольный. Тогда, MO=OS=a/2

Построение плоскости α

 

1)В плоскости АМВ проведем прямую через точки G и H-середины сторон АМ и МВ.

 

 

2) По условию, плоскость сечения параллельна ребру МС, то есть плоскость α содержит прямую, параллельную МС. Значит, в плоскости MBC через точку H проведем прямую, параллельную МС. Получим точку Р-середину стороны ВС.

 

 

3) Если плоскость(α) проходит через прямую, параллельную данной плоскости(GH||ABC) и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой(αABC=PQPQ||GH||AB) Получили: Q-середина AD

 

4) В плоскости AMD проводим прямую GQ. Получили:

 GHPQ- искомая плоскость α

 

Из построения следует: GQ-средняя линия треугольника AMD; GQ||MD. Тогда, по признаку параллельности прямой и плоскости, (GHP)||MD.

Чтд

б) Угол между плоскостью α и прямой АС. Координатный метод.

Введем систему координат как показано на рисунке:

Координаты прямой АС:

А(a/2;-a/2;0)

C(-a/2;a/2;0)

(-a;a;0)

Составим систему уравнений для определения координат нормального вектора плоскости α:

G(a/4;-a/4;a/4)

Q(a/2;0;0)

P(-a/2;0;0)

Так как плоскость α проходит через начало координат, D=0.

Тогда уравнение плоскости имеет вид: By+Bz=0 y+z=0 (0;1;1)

Синус угла между прямой и плоскостью:

Ответ: 30°