ЕГЭ профиль
Репетитор по математике
Запись на занятия: https://profi.ru/profile/KungurovaKA/
Запись на занятия: https://profi.ru/profile/KungurovaKA/
В основании правильной четырехугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины ребер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.
а) Докажите, что плоскость αпараллельна ребру MD.
б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.
Решение.
Построим правильную четырехугольную пирамиду и отметим попарно перпендикулярные грани.
Плоскости АМВ и DMC пересекаются по прямой b. Если плоскость(АМВ) проходит через прямую, параллельную другой плоскости(АВ||DMC) и пересекает ее, то линия пересечения плоскостей и данная прямая параллельны: АМВ∩DMC=b, b|| AB||DC
Соответственно, апофема MS, перпендикулярная ребру DC, будет перпендикулярна и прямой b. Аналогично, апофема MR перпендикулярна прямой b.
Тогда угол между перпендикулярными плоскостями AMB и DMC – это угол между апофемами MR и MS.
Пусть сторона основания равна a.
Треугольник MRS – равнобедренный прямоугольный. Тогда, MO=OS=a/2
Построение плоскости α
|
1)В плоскости АМВ проведем прямую через точки G и H-середины сторон АМ и МВ. |
|
|
2) По условию, плоскость сечения параллельна ребру МС, то есть плоскость α содержит прямую, параллельную МС. Значит, в плоскости MBC через точку H проведем прямую, параллельную МС. Получим точку Р-середину стороны ВС. |
|
|
3) Если плоскость(α) проходит через прямую, параллельную данной плоскости(GH||ABC) и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой(αꓵABC=PQ→PQ||GH||AB) Получили: Q-середина AD |
|
|
4) В плоскости AMD проводим прямую GQ. Получили: GHPQ- искомая плоскость α |
|
Из построения следует: GQ-средняя линия треугольника AMD; GQ||MD. Тогда, по признаку параллельности прямой и плоскости, (GHP)||MD.
Чтд
б) Угол между плоскостью α и прямой АС. Координатный метод.
Введем систему координат как показано на рисунке:
Координаты прямой АС:
А(a/2;-a/2;0)
C(-a/2;a/2;0)
(-a;a;0)
Составим систему уравнений для определения координат нормального вектора плоскости α:
G(a/4;-a/4;a/4)
Q(a/2;0;0)
P(-a/2;0;0)
Так как плоскость α проходит через начало координат, D=0.
Тогда уравнение плоскости имеет вид: By+Bz=0 → y+z=0 → 
(0;1;1)
Синус угла между прямой и плоскостью:
Ответ: 30°
