Задание 14(С2) ЕГЭ. Из варианта А.Ларина

Точки M, N и K принадлежат соответственно ребрам AD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем AM: MD=2:3, BN: AN=1:2, BK=KC.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M,N,K.

б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро СD.

I Построение сечения.

1. Соединим точки M и N в грани ABD; N и K, лежащие в грани ABC.
2. Проведем прямую NK до пересечения с AC: NK∩ AC=G. Точка G принадлежит грани ADC (так как лежит на прямой AC, лежащей в грани ADC). Получили две точки, лежащие в грани ADC: М и G. Соединим их. MG∩ DC=H
3. Четырехугольник MNKH – сечение тетраэдра плоскостью MNK.

II Нахождение отношения. Теорема Менелая.

В этой задаче теорема Менелая применяется дважды:

1. Рассмотрим треугольник ABC и прямую NG.

Запишем соотношение сторон согласно теореме Менелая:

 .

 Подставим уже имеющиеся соотношения согласно условию:

2) Рассмотрим треугольник ADC и прямую MG.

Аналогично (1) применим теорему Менелая.

Ответ: 3:1