Кунгурова Ксения Анатольевна, репетитор
Powered by Profi.ru
Репетитор по математике

Запись на занятия: https://profi.ru/profile/KungurovaKA/

репетитор

Задание 14(С2) ЕГЭ 2017. Координатный метод

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.

 

а) Введем трехмерную систему координат:

Пусть АС=а, ВС=b, тогда:

 

,

Если скалярное произведение  векторов равно нулю, то такие векторы перпендикулярны.

  прямые  и  перпендикулярны.

б) Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Через прямую CA1  проведем плоскость CA1K , параллельную прямой AB1. (CK || AB1.)

 

Составим уравнение плоскости :

 ,  

   

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой- это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки первой прямой на плоскость. Т.е. нам нужно найти расстояние от любой точки прямой  до плоскости . Найдем расстояние от точки до плоскости :

Ответ: