Кунгурова Ксения Анатольевна, репетитор
Powered by Profi.ru
Репетитор по математике

Запись на занятия: https://profi.ru/profile/KungurovaKA/

репетитор

Задание 14 ЕГЭ 2018(Ларин)

На продолжениях рёбер А1А и D1C1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём AA1=AK, C1D1=C1L.

а) Докажите, что прямая KL проходит через середину ребра BC.

б) Найдите угол между прямыми AD1 и KL, если AB=2√2, AD=6, AA1=8.

Решение.

а)

Заключаем прямые BC и KL в общую плоскость- четырёхугольник KBLC.

Докажем, что KBLC – параллелограмм.

∆KAB=∆LC1C (по двум катетам):

- C1L=D1C1 (по условию)→ C1L=AB

- AK=AA1 (по условию) →AK=CC1

∠KAB=∠ LC1C=90°, так как параллелепипед прямоугольный.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: KB=LC.

Кроме того, плоскость KBL пересекает параллельные плоскости ABB1 и CDD1 по параллельным прямым, то есть KB||LC.

Получили: KB||LC , KB=LC, значит, четырёхугольник KBLC – параллелограмм.

 Диагонали параллелограмма, KL и BC, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, т.е. BO=OC.

Ч.т.д.

б) Решим задачу координатным методом.

Введём систему координат как показано на рисунке:

 

A(0;0;0)

D1(0;6;8)

 

K(0;0;-8)

L(-4√2;6;8)