Кунгурова Ксения Анатольевна, репетитор
Powered by Profi.ru
Репетитор по математике

Запись на занятия: https://profi.ru/profile/KungurovaKA/

репетитор

Ященко, ЕГЭ 2020 36 вар. Вариант 6. Задача 14

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=20, AC=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру BB1, причём, BP:PB1=1:3.

а) Пусть M – середина A1C1. Докажите, что прямые MP и AC перпендикулярны.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями A1B1C1 и ACP.

 а) Доказательство.

  1. Через точку М проведем прямую, параллельную ВВ1. Прямая МР принадлежит плоскости BB1MH.
  2. Точка Н – середина стороны АС (по построению), а так как треугольник АВС – равнобедренный (АВ=ВС), то ВН ꓕ АС; MH|| ВВ1, значит, MH ꓕ AC. Получили: прямая AC перпендикулярна двум  пересекающимся прямым, лежащим в плоскости BB1MH. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AC перпендикулярна плоскости BB1MH. А,значит, прямая AC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Т.е. ACꓕMP.

б) Так как плоскость A1B1C1 параллельна плоскости ABC, то угол между плоскостями A1B1C1 и ACP будет равен углу между плоскостью ACP и плоскостью ABC.

Из равенства треугольников АВР и СВР следует равенство сторон АР и СР, то есть треугольник равнобедренный, значит, РН ꓕ АС. Тогда, по определению угла между плоскостями, угол РНВ-угол между плоскостями АРС и АВС.

Из равнобедренного треугольника ABC:

Ответ: 0,5