ЕГЭ профиль
Запись на занятия: https://profi.ru/profile/KungurovaKA/
Дана пирамида SABC, в которой SС = SB= AB= AC =√17, SA= BC = 2√5
а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC;
б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.
Решение.
а)
1) По условию, AB=AC, значит, ∆BAC -равнобедренный.
Из вершины S опустим перпендикуляр на основание пирамиды(∆ВАС)
По свойству пирамиды основание высоты-центр описанной окружности около треугольника ABC, то есть пересечение серединных перпендикуляров к его сторонам. Одним из таких перпендикуляров будет медиана AD, проведенная к основанию равнобедренного треугольника BAC.
2) Через вершину А проведем прямую a, параллельную ВС. Получим:
SO ꓕ (ABC) (по построению)
AD ꓕ BC→ AD ꓕ a
Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, SA ꓕ a → SA ꓕ BC
б) SA и BC – скрещивающиеся прямые. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.
1) Отметим на прямой a точку P. Плоскость SAP параллельна прямой BC, так как AP||BC
2) Из любой точки BC необходимо опустить перпендикуляр на плоскость SAP.
Из точки D опустим перпендикуляр на плоскость SAP. Для этого, через точку D проведем плоскость, перпендикулярную плоскости SAP:
AP ꓕ AD, AP ꓕ AS, значит, AP ꓕ (SAD) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)
Следовательно, (SAP) ꓕ (SAD).
Линия пересечения плоскостей- прямая SA.
В плоскости SAD опустим перпендикуляр из вершины D на прямую SA. Получили:
DH – искомое расстояние между скрещивающимися прямыми SA и BC.
По теореме Пифагора:
Так как ∆ADS – равнобедренный, то высота DH является и медианой. Тогда, по т.Пифагора:
Ответ: