Досрочный ЕГЭ 29.03.2019 Задание 14

Дана пирамида SABC, в которой SС = SB= AB= AC =√17, SA= BC = 2√5

 а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC;

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

Решение.

а)

1) По условию, AB=AC, значит, ∆BAC -равнобедренный.

Из вершины S опустим перпендикуляр на основание пирамиды(∆ВАС)

По свойству пирамиды основание высоты-центр описанной окружности около треугольника ABC, то есть пересечение серединных перпендикуляров к его сторонам. Одним из таких перпендикуляров будет медиана AD, проведенная к основанию равнобедренного треугольника BAC.

2) Через вершину А проведем прямую a, параллельную ВС. Получим:

SO ꓕ (ABC) (по построению)

AD ꓕ BC→ AD ꓕ a

Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, SA ꓕ a → SA ꓕ BC

б) SA и BC – скрещивающиеся прямые. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

1) Отметим на прямой a точку P.  Плоскость SAP параллельна прямой BC, так как AP||BC

2) Из любой точки BC необходимо опустить перпендикуляр на плоскость SAP.

Из точки D опустим перпендикуляр на плоскость SAP. Для этого, через точку D проведем плоскость, перпендикулярную плоскости SAP:

AP ꓕ AD, AP ꓕ AS, значит, AP ꓕ (SAD) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости)

Следовательно, (SAP) ꓕ (SAD).

 Линия пересечения плоскостей- прямая SA.

В плоскости SAD опустим перпендикуляр из вершины D на прямую SA. Получили:

DH – искомое расстояние между скрещивающимися прямыми SA и BC.

По теореме Пифагора:  

Так как ∆ADS – равнобедренный, то высота DH является и медианой. Тогда, по т.Пифагора:

 Ответ: