7.Подробный разбор задач на производную и первообразную

Краткая справка

1.

Производная функции показывает скорость изменения этой функции.

То есть:

- если на данном промежутке функция возрастает, то на данном промежутке производная положительна. f(x)↑  f'(x)+

 -если на данном промежутке функция убывает, то на данном промежутке производная отрицательна . f(x)↓  f'(x)-

-в вершинах и впадинах график функции находится «без движения», поэтому, в вершинах и впадинах графика функции производная равна 0.  f'(x)=0

Примеры

1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены девять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃,…,x₉. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

Ответ: производная функции положительна там, где функция возрастает. 4 точки.

2. На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -7, -3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной функции наибольшее? В ответе укажите эту точку.

Ответ:

- Точка -7 лежит на промежутке убывания функции, поэтому производная в точке -7 отрицательна.

- В точке -3 функция ни возрастает, ни убывает(впадина), здесь производная равна 0.

- Точки 1 и 5 лежат на промежутке возрастания функции, значит, производные в этих точках положительны.

И наибольшее из положительных значений производных там, где график резко растет вверх. Это точка 5.

3. Функция y = f(x)  определена на интервале (-5;6). На рисунке изображен график функции y=f(x). Найдите среди точек x₁, x₂,…,x₇ те точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек.

Ответ: Производная равна нулю в вершинах и впадинах графика функции. Т.е.:

3 точки.

!Важно знать! Производная существует только в плавных вершинах и впадинах графика, на острых концах графика функции производная вообще не существует(В точках х3 и х4  производной нет).