В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка К – середина ребра A1B1, а точка М делит ребро АС в отношении АМ:МС=1:3.

а) Докажите, что КМ перпендикулярно AC

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=14, AC=16 и AA1 = 6 

 Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение

В июле 2018 года планируется взять кредит в банке на шесть лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 2 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
 

Найдите S, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 327 тысяч рублей.

На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC.
Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.

а) Точка N —середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2, AC = √6.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диаметр CC1 перпендикулярен стороне AD и пересекает её в точке M, а диаметр DD1 перпендикулярен стороне AB и пересекает её в точке N.

а) Пусть AA1 также диаметр окружности. Докажите, что ∠DNM= ∠BA1D1.
б) Найдите углы четырёхугольника ABCD, если угол CDB вдвое меньше угла ADB.