В основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Точка М- середина ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, причем AN:NC=15:1. Катет AC в 4 раза больше бокового ребра АА₁ призмы.

а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA₁.

б) Найдите угол между прямой MN и плоскостью основания A₁B₁C₁, если .

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 2 и боковое ребро 6. M — середина ребра A1С1, O — точка пересечения диагоналей грани ABB1 A1.

а) Докажите, что точка пересечения OC1 с четырехугольником, являющимся сечением призмы плоскостью ABM, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника.

б) Найдите угол между OС1 и сечением призмы плоскостью ABM.

На продолжениях рёбер А₁А и D₁C₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём AA₁=AK, C₁D₁=C₁L.

а) Докажите, что прямая KL проходит через середину ребра BC.

б) Найдите угол между прямыми AD₁ и KL, если AB=2√2, AD=6, AA₁=8.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку r , если известно, что последний платёж будет не менее 0,92 млн рублей.

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4 .
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB .
б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC .

Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 5, а его высота равна √51.

Точка М – середина образующей SA конуса, а точки N и В лежат на основании конуса, причем прямая MN параллельна образующей конуса SB.

а) Докажите, что угол ANO – прямой

б) Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания конуса, если АВ=8