На продолжениях рёбер А₁А и D₁C₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём AA₁=AK, C₁D₁=C₁L.

а) Докажите, что прямая KL проходит через середину ребра BC.

б) Найдите угол между прямыми AD₁ и KL, если AB=2√2, AD=6, AA₁=8.

В правильной пирамиде SABC точки M и N – середины ребер AB и BC соответственно. На боковом ребре SA отмечена точка K. Сечение пирамиды плоскостью MNK является четырехугольником, диагонали которого пересекаются в точке Q.

Докажите, что точка Q лежит на высоте пирамиды

В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка К – середина ребра A1B1, а точка М делит ребро АС в отношении АМ:МС=1:3.

а) Докажите, что КМ перпендикулярно AC

б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB=14, AC=16 и AA1 = 6 

На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC.
Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.

а) Точка N —середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2, AC = √6.

Точки M,N и K принадлежат соответственно рёбрам AD, AB и BC тетраэдра ABCD, причём AM:MD=2:3, BN:AN=1:2, BK=KC.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M,N,K.
б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. грань ACC1A1 является квадратом.
а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC=4, BC=7.

Дана четырёхугольная пирамида SABCD с прямоугольником ABCD в основании. Сторона AB равна 3√2, а BC равна 6. Высота пирамиды проектируется в центр пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
а) Докажите, что точка P является серединой отрезка BQ.
б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если ребро SD равно 9.